Решение геометрических задач на окружности
- Задача: Найти длину отрезка АВ, если АК = 4, АР = 16.
Решение:
- Пусть точка А находится вне окружности, касательная АВ и секущая АК пересекают окружность в точках К и Р.
- Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, то треугольник АКВ прямоугольный.
- По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна корню из суммы квадратов катетов.
- Таким образом, длина отрезка АВ равна корню из суммы квадратов длин отрезков АК и КВ.
- Из условия задачи имеем: АК = 4, АР = 16. Тогда КР = АР - АК = 16 - 4 = 12.
- Так как треугольник АКВ прямоугольный, то по теореме Пифагора: АВ = √(АК² + КВ²) = √(4² + 12²) = √(16 + 144) = √160 = 4√10.
Ответ: длина отрезка АВ равна 4√10.
- Задача: Найти длину отрезков АР и АК, если АК : КР = 1 : 3, АВ = 14.
Решение:
- Пусть точка А находится вне окружности, касательная АВ и секущая АК пересекают окружность в точках К и Р.
- Из условия задачи имеем: АК : КР = 1 : 3. Тогда можно записать, что АК = x, КР = 3x.
- Так как отрезок АВ является касательной к окружности, то он перпендикулярен радиусу, проведенному к точке касания.
- Таким образом, треугольник АКВ также является прямоугольным.
- Из условия задачи также известно, что АВ = 14. Тогда по теореме Пифагора: АВ² = АК² + КВ².
- Подставляем известные значения: 14² = x² + (3x)² = x² + 9x² = 10x².
- Отсюда находим значение x: 14² = 10x² => x² = 14² / 10 = 196 / 10 = 19.6 => x = √19.6 ≈ 4.43.
- Теперь можем найти длину отрезков АР и АК: АК = x ≈ 4.43, КР = 3x ≈ 13.29.
Ответ: длина отрезка АР ≈ 13.29, длина отрезка АК ≈ 4.43.