Исследовать сходимость ряда. Не могу найти по обобщенному гармоническому ряду(
Обобщенный гармонический ряд имеет вид:
∑(n=1, ∞) 1/n^p,
где p - параметр, определяющий сходимость ряда.
Для исследования сходимости ряда необходимо определить, при каких значениях параметра p ряд сходится, а при каких - расходится.
- Если p > 1, то ряд сходится. Это следует из сравнения ряда с интегралом:
∫(1, ∞) 1/x^p dx = [-1/(p-1) * x^(-p+1)](1, ∞) = 1/(p-1).
Таким образом, если p > 1, то ряд ∑(n=1, ∞) 1/n^p сходится.
- Если p ≤ 1, то ряд расходится. Для этого можно воспользоваться интегральным признаком сходимости ряда:
Если ∫(1, ∞) f(x) dx расходится, то и ряд ∑(n=1, ∞) f(n) расходится.
В данном случае f(x) = 1/x^p. Рассмотрим интеграл:
∫(1, ∞) 1/x^p dx = [-1/(p-1) x^(-p+1)](1, ∞) = lim(x→∞) (-1/(p-1) x^(-p+1)) - (-1/(p-1) * 1^(-p+1)).
Если p ≤ 1, то -p+1 ≥ 1, и при x→∞ выражение (-1/(p-1) * x^(-p+1)) стремится к 0. Таким образом, интеграл расходится, а значит и ряд ∑(n=1, ∞) 1/n^p расходится при p ≤ 1.
Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1.