Даны вершины треугольника - А(8;0;0), В(7;7;1), С(0;3;-4). Найти высоту, опущенную из вершины А.. Помогите, пожалуйста.
Для нахождения высоты, опущенной из вершины А, нужно найти перпендикуляр к плоскости треугольника, проходящий через вершину А.
- Найдем векторы AB и AC: AB = B - A = (7 - 8, 7 - 0, 1 - 0) = (-1, 7, 1) AC = C - A = (0 - 8, 3 - 0, -4 - 0) = (-8, 3, -4)
- Найдем векторное произведение векторов AB и AC: AB x AC = (-1, 7, 1) x (-8, 3, -4) = (7(-4) - 13, 1(-4) - (-1)(-8), (-1)3 - 7(-8)) = (-25, 4, 53)
- Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярную вектору AB x AC:
Уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - координаты вектора AB x AC, а (x, y, z) - координаты точки A.
Подставим координаты точки A и вектора AB x AC в уравнение и найдем D:
-258 + 40 + 53*0 + D = 0
-200 + D = 0
D = 200
Таким образом, уравнение плоскости имеет вид -25x + 4y + 53z + 200 = 0.
- Найдем уравнение прямой, проходящей через вершину А и перпендикулярной плоскости:
Уравнение прямой имеет вид (x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c, где (x0, y0, z0) - координаты точки А, а (a, b, c) - координаты вектора AB x AC.
Подставим координаты точки А и вектора AB x AC в уравнение:
(x - 8)/(-25) = (y - 0)/4 = (z - 0)/53
Таким образом, уравнение прямой имеет вид (x - 8)/(-25) = y/4 = z/53.
- Найдем точку пересечения прямой и плоскости:
Подставим уравнение прямой в уравнение плоскости:
-25((x - 8)/(-25)) + 4(y/4) + 53*(z/53) + 200 = 0
x - 8 - y + z + 200 = 0
x - y + z + 192 = 0
Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты (x, y, z) = (192, 0, 0).
- Найдем расстояние от точки пересечения до вершины А:
Расстояние d = √((x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2), где (x0, y0, z0) - координаты точки А, а (x, y, z) - координаты точки пересечения.
Подставим координаты точек в формулу:
d = √((192 - 8)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2)
d = √(184^2)
d = 184
Таким образом, высота, опущенная из вершины А, равна 184.