Используя признаки сравнения, исследовать сходимость рядов. (Признак Даламбера).
Признак Даламбера используется для исследования сходимости положительных рядов. Он утверждает, что если для последовательности положительных чисел {an} выполнено условие:
lim (n -> ∞) (an+1 / an) = L,
где L - предел этой последовательности, то ряд ∑an сходится, если L < 1, и расходится, если L > 1.
Для применения признака Даламбера необходимо выполнение следующих условий:
- Последовательность {an} должна быть положительной для всех n.
- Предел lim (n -> ∞) (an+1 / an) должен существовать.
Пример: Рассмотрим ряд ∑(1/n^2), где n принимает значения от 1 до ∞.
Для применения признака Даламбера, найдем предел последовательности (an+1 / an) при n -> ∞:
lim (n -> ∞) ((1/(n+1)^2) / (1/n^2)) = lim (n -> ∞) (n^2 / (n+1)^2) = lim (n -> ∞) (n^2 / (n^2 + 2n + 1)) = lim (n -> ∞) (1 / (1 + 2/n + 1/n^2)) = 1 / (1 + 0 + 0) = 1.
Так как предел этой последовательности равен 1, согласно признаку Даламбера, ряд ∑(1/n^2) сходится.
Таким образом, признак Даламбера позволяет исследовать сходимость положительных рядов и определить, сходится ли ряд или расходится, основываясь на пределе отношения соседних членов ряда.